Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[d:3x + 4y - 12 = 0\] và elip \[\left( E \right)\] có độ dài trục lớn bằng \[8\], độ dài trục nhỏ bằng \[6\]. Đường thẳng \[d\] cắt \[\left( E \right)\] tại hai điểm phân biệt \[A,\,\,B\]\[\,\left( {OB > OA} \right)\]. Gọi \[C\left( {m;n} \right),\,\,m > 0\] là điểm thuộc \[\left( E \right)\] sao cho tam giác \[ABC\] có diện tích bằng \[6\]. Giá trị biểu thức \[T = \sqrt 2 \left( {m + n} \right)\] bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[d:3x + 4y - 12 = 0\] và elip \[\left( E \right)\] có độ dài trục lớn bằng \[8\], độ dài trục nhỏ bằng \[6\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid3-1766390838.png)
\[\left( E \right)\] có phương trình chính tắc dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]. Theo giả thiết ta có \[a = 4,\,b = 3\] nên phương trình của elip \[\left( E \right)\] là \[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\].
Tọa độ điểm giao điểm \[A\], \[B\] của \[d\] và \[\left( E \right)\] là nghiệm của hệ phương trình :
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\9{x^2} + 16{y^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\].
Do \[\,OB > OA\] nên \[A\left( {0;3} \right)\], \[B\left( {4;0} \right) \to AB = 5\]; \[d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{5}\]
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m + 4n = 0\end{array} \right.\].
Do \[C\left( {m;n} \right) \in \left( E \right)\] nên.
\[\frac{{{m^2}}}{{16}} + \frac{{{n^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9{m^2} + 16{n^2} = 144 \Leftrightarrow {\left( {3m + 4n} \right)^2} - 24mn = 144\]
Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m.4n = 216\end{array} \right.\] (vô nghiệm).
Trường hợp 2: \[\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 0\\3m.4n = - 72\end{array} \right.\]
Kết hợp với điều kiện \[\,\,m > 0\] ta tìm được \[m = 2\sqrt 2 ;n = - \frac{3}{{\sqrt 2 }} \to T = \sqrt 2 \left( {m + n} \right) = 1\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[n(\Omega ) = C_{21}^4 = 5985\]
Đặt \[A\] là biến cố chọn ra được \[4\] nhà khoa học có đầy đủ cả \[3\] lĩnh vực.
Khi đó:
Số cách chọn 2 nhà Toán học, 1 nhà Vật lý, 1 nhà Hóa học là: \[C_6^2.C_7^1.C_8^1 = 840\].
Số cách chọn 1 nhà Toán học, 2 nhà Vật lý, 1 nhà Hóa học là: \[C_6^1.C_7^2.C_8^1 = 1008\].
Số cách chọn 1 nhà Toán học, 1 nhà Vật lý, 2 nhà Hóa học là: \[C_6^1.C_7^1.C_8^2 = 1176\].
\[ \Rightarrow n\left( A \right) = 840 + 1008 + 1176 = 3024\]
Đặt \[B\] là biến cố chọn ra \[4\] nhà khoa học đủ cả \[3\] lĩnh vực mà trong đó
chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.
Khi đó:
Số cách chọn chỉ có nam: \[C_4^2.C_3^1.C_4^1 + C_4^1.C_3^2.C_4^1 + C_4^1.C_3^1.C_4^2 = 192\].
Số cách chọn chỉ có nữ: \[C_2^2.C_4^1.C_4^1 + C_2^1.C_4^2.C_4^1 + C_2^1.C_4^1.C_4^2 = 112\].
\[ \Rightarrow n\left( B \right) = 192 + 112 = 304\].
Vậy số cách chọn ra được \[4\] nhà khoa học có đày đủ cả \[3\] lĩnh vực, trong
đó có cả nam lẫ nữ là: \[3024 - 304 = 2720\] hay \[n\left( A \right) = 2720\]
Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{2720}}{{5985}} = \frac{{544}}{{1197}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 544\\b = 1197\end{array} \right. \Rightarrow T = 1197 - 2.544 = 109\]
Lời giải
a) Sai: Số phần tử của không gian mẫu là \[C_{16}^4\].
b) Đúng: Gọi A là biến cố: “ Lấy được đúng 3 viên bi trắng”
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là \[C_7^4\]
Vây \[P\left( A \right) = \frac{{C_7^4}}{{C_{16}^4}} = \frac{1}{{52}}\]
c) Đúng: Gọi B là biến cố: “ Lấy được đủ 3 mầu”
Lấy được 1 bi mầu trắng, 1 bi mầu đen và 2 bi mầu đỏ có \[C_7^1.C_6^1.C_3^2\] cách.
Lấy được 1 bi mầu trắng, 2 bi mầu đen và 1 bi mầu đỏ có \[C_7^1.C_6^2.C_3^1\] cách.
Lấy được 2 bi mầu trắng, 1 bi mầu đen và 1 bi mầu đỏ có \[C_7^2.C_6^1.C_3^1\] cách.
Do đó: \[n\left( B \right) = C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1 = 819\].
Vậy \[P\left( B \right) = \frac{{819}}{{C_{16}^4}} = \frac{9}{{20}}\].
d) Sai: Gọi C là biến cố: “ Lấy được đúng 2 mầu”
Lấy được đúng 1 mầu có \[C_7^4 + C_6^4\] cách.
Lấy được đủ 3 mầu có \[C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1\] cách.
Do đó: \[N\left( C \right) = C_{16}^4 - (C_7^4 + C_6^4 + C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1) = 951\].
Vậy \[P\left( B \right) = \frac{{951}}{{C_{16}^4}} = \frac{{951}}{{1820}}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập