Cho \(n\) là số nguyên dương thoả mãn \[C_n^1 + C_n^3 = 3n\]. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển của \(P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x \ne 0\).

Trong một đám cháy rừng, các máy bay trực thăng cứu hộ được điều động để phun nước dập tắt các đám cháy. Một chiếc trực thăng mang số hiệu CH01 đang bay ở độ cao \(500\,{\rm{m}}\) so với mặt đất, chuẩn bị phun nước vào một đám cháy rừng từ trên cao. Độ cao \(h\,\left( {\rm{m}} \right)\) của vòi phun so với mặt đất tính theo thời gian \(t\,\left( s \right)\) kể từ lúc máy bay phun ra nước để dập lửa là một hàm số bậc hai. Tại thời điểm \(5\,\left( {\rm{s}} \right)\) sau khi nước phun thì nước tới được phía trên đám cháy đang bốc lửa cao \(90\,{\rm{m}}\). Khoảng thời gian để nước đi từ vòi phun đến đám cháy trên mặt đất là \(t = \frac{{25\sqrt b }}{c}\) (giây) với \(b,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = b + c\)?\(\)

Một quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,5\) mét so với mặt đất. Biết quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) có phương trình \(h\left( t \right) =  - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5\) trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng.

a) Quả bóng chạm mặt đất khi \(t = 5\) giây.

b) Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong thời gian là \(5\) giây.

c) Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi \(t = 2,75\) giây.

d) Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong khoảng thời gian \(0 < t < 6\).

Một cuộc họp có sự tham gia của \[6\] nhà Toán học trong đó có 4 nam và \[2\] nữ, \[7\] nhà Vật lý trong đó có \[3\] nam và \[4\] nữ và \[8\] nhà Hóa học trong đó có \[4\] nam và \[4\] nữ. Người ta muốn lập một ban thư kí gồm \[4\] nhà khoa học. Xác suất để ban thư kí được chọn phải có đủ cả \[3\] lĩnh vực và có cả nam lẫn nữ là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = b - 2a\)?

Cho các chữ số 0, 2, 3, 8, 9.

a) Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 16.

b) Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 20.

c) Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 10.

d) Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 8.

Phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 5x - 4}  = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2} \] có bao nhiêu nghiệm?

Một bình đựng 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Số phần tử của không gian mẫu là \[A_{16}^4\].

b) Xác suất lấy được đúng bi trắng là \[\frac{1}{{52}}\].

c) Xác suất lấy được đủ 3 mầu là \[\frac{9}{{20}}\].

d) Xác suất lấy được đúng 2 mầu \[\frac{{11}}{{20}}\].

Biết phương trình \[\sqrt {2{x^2} + 3x + 1}  = 2x\] có một nghiệm \[x = \frac{{a + \sqrt b }}{c}\], với \[a,\,b,\,c \in {\mathbb{N}^*}\] và \[\frac{a}{c},\,\frac{b}{c}\] là các phân số tối giản. Tính \[S = ac - b\].