Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và ba quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả. Tính xác suất sao cho lấy được ba quả cùng màu

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử quỹ đạo của quả bóng là parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y\; = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Gắn hệ trục tọa độ tại các điểm \(x\, = \,0;\,x\, = 1;\,x\, = \,3,5\).\(\)

Theo giả thiết suy ra|C|D|0|2|5| parabol \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;1} \right),\,B\left( {1;6} \right),\,C\left( {3,5;\,9,75} \right)\) ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}c\, = \,1\\a\, + b\, + c\, = 6\\\frac{{49}}{4}a + \frac{7}{2}b\, + c\, = \,9,75\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\, = \,1\\b\, = \,6\\a\, = \, - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y\, = \, - {x^2} + 6x\, + 1\).

Ta có \(y\, = \, - {x^2} + 6x + 1\, = \, - {\left( {x - 3} \right)^2} + 10 \le \,10\).

Suy ra độ cao nhất mà quả bóng đạt được là \(10m\).

Ta có: \({x^2} + (m - 2)x + 5m + 1 > 0\)\(,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta  < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 > 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 4\left( {5m + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 24m < 0 \Leftrightarrow m \in \left( {0\,;\,24} \right)\).

Vậy có tất cả \(23\) giá trị thoả mãn.