Cho tam giác \[ABC{\rm{ }}(AB < AC)\]có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \[O\]. Tiếp tuyến tại \[A\]của đường tròn \[(O)\]cắt đường thẳng\[BC\] tại \[K\]. Từ \[O\] kẻ \[OD\] vuông góc với \[BC\] tại \[D\], tia \[OD\] cắt đường tròn \[(O)\]tại \[E.\]

a) Chứng minh tứ giác \[KDOA\] nội tiếp.

b) Đường thẳng \[AE\] cắt \[BC\]tại\[N\]. Chứng minh tam giác \[KNA\]cân và \[K{N^2} = KB.KC\].

c) Kẻ tiếp tuyến \[KM\]của đường tròn \[(O)\]( \[M\] là tiếp điểm). Chứng minh tia \[MN\]và tia \[ED\]cắt nhau tại một điểm thuôc đường tròn \[(O)\].

a)Gọi \[x,y\] lần lượt là số học sinh trường THCS A và trường THCS A (ĐK: \[x,y \in {\mathbb{N}^*}\] và\[x,y < 322\]).

Theo đề bài ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 322\\6x - 5y = 172\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 5y = 1610\\6x - 5y = 172\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 1782\\6x - 5y = 172\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 162\\y = 160\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình tìm được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 162\\y = 160\end{array} \right.\] (thỏa mãn ĐK)

Vậy số quyển sách của trường THCS A quyên góp được là \[162.6 = 972\]quyển.

Số quyển sách của trường THCS B quyên góp được là \[160.5 = 800\]quyển

b)\[{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} + 1 = 0\]

Ta có \(\Delta  = {{\rm{[}} - (2m + 1){\rm{]}}^2} - 4.1.({m^2} + 1) = 4m - 3\)

Phương  trình có hai nghiệm phân biệt khi\(\Delta  > 0\)

\( \Leftrightarrow 4m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{4}\)

Theo hệ thức Viet, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}.\,{x_2} = {m^2} + 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài, ta có:  \[{({x_1} + 1)^2} + {({x_2} + 1)^2} = 13.\]

\[ \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1} + 1 + {x_2}^2 + 2{x_2} + 1 = 13.\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) + 2({x_1} + {x_2}) + 2 = 13\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) + 2({x_1} + {x_2}) - 11 = 0\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) - 11 = 0\\ \Leftrightarrow {(2m + 1)^2} - 2({m^2} + 1) + 2(2m + 1) - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 8m - 10 = 0\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 5\end{array} \right.\]\(\begin{array}{l}{\rm{(Nha\"a n)}}\\{\rm{(Loa\"i i)}}\end{array}\)

Vậy \[m = 1\] thỏa mãn đề bài

a) \(3{x^2} + 5x - 12 = 0\)

Ta có \(\Delta  = {5^2} - 4.3.( - 12) = 169 > 0\)

Phương  trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {69} }}{{2.3}} = \frac{4}{3};{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {69} }}{{2.3}} =  - 3\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 3;\frac{4}{3}} \right\}\) 

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 7\\x + 2y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 14\\x + 2y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 20\\y = 2x - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x;y) = (4;1)\)