a) Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 4{\rm{ cm}}\), \(AD = 3{\rm{ cm}}\) và \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABD\) (\(H \in BD\)). Tính độ dài các đoạn thẳng \(BD\), \(AH\) và \(OH\).

b) Một khối kim loại đặc có hình dạng là một hình trụ và nửa hình cầu, bán kính nửa hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ (tham khảo hình vẽ bên). Biết chiều cao của hình trụ là \(h = 4{\rm{ cm}}\)và bán kính đáy là \(R = 3{\rm{ cm}}\). Tính thể tích của khối kim loại.

a)Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số tập của bạn An và bạn Nam mua (\(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}\))

Ta có phương trình: \(x - y = 2\)

Sau giảm giá \(20\% \), giá mỗi quyển tập bạn An là

\(\left( {1 - 20\% } \right).11\,000 = 8\,800\) (đồng)

Số tiền mua tập của An là: \(8\,800x\) (đồng)

Sau giảm giá \(20\% \), giá mỗi quyển tập bạn Nam là

\(\left( {1 - 20\% } \right).12\,000 = 9\,600\) (đồng)

Số tiền mua tập của Nam là: \(9\,600y\) (đồng)

Ta có phương trình: \(8\,800x = 9600y\)

Ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\8\,800x - 9600y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 22\end{array} \right.\)

Vậy số tập của bạn An và bạn Nam mua lần lượt là \(24\) quyển, \(22\) quyển.

Số tiền mỗi bạn phải trả là \(24 \times 8\,\,800 = 211{\rm{ }}200\)(đồng)

b)Bảng giá trị

\(x\).\(0\).\(1\).\(2\)

\(y\).\(0\).\( - 1\).\( - 4\)

Phương trình hoành độ giao điểm \( - {x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x =  - 2 \Rightarrow y =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy toạ độ giao điểm là \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( { - 2; - 4} \right)\).

(Tìm toạ độ giao điểm bằng đồ thị vẫn cho điểm tối đa)

a) $\widehat{MAO}={90}^{°}$

$\widehat{MCO}={90}^{°}$

$\widehat{MAO}+\widehat{MCO}={180}^{°}$

Suy ra tứ giác \(AMCO\) nội tiếp đường tròn.

b)Gọi \(N\) là giao điểm của tiếp tuyến tại \(C\) và \(B\).

Theo tính chất tiếp tuyến ta có \(MC = MA,NC = NB\).

Vì \(CI||NB\) nên theo định lí Thalet ta có

\(\frac{{CI}}{{NB}} = \frac{{MC}}{{MN}}\) và \(\frac{{CN}}{{NM}} = \frac{{IB}}{{BM}}\)              (1)

\( \Rightarrow \frac{{CI}}{{MC}} = \frac{{NB}}{{MN}} = \frac{{CN}}{{MN}}\)                         (2)

Vì \(IH||AM\) nên theo định lí Thalet ta có

\(\frac{{IH}}{{AM}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)                                               (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\frac{{CI}}{{MC}} = \frac{{IH}}{{MA}} \Rightarrow CI = IH \Rightarrow \)\(I\)là trung điểm của \(CH\).