(2.5 điểm)

Một vườn trường hình chữ nhật trước đây có chu vi \(120 m\), nhà trường đã mở rộng chiều dài thêm \(5 m\) và chiều rộng thêm \(3 m\), do đó diện tích vườn trường đã tăng thêm \(245 {m^2}\). Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lúc đầu.

a). Diện tích inox để làm nên chiếc xô hình trụ trên là:

           S = Sxung quanh  + Sđáy \( \approx 2.\pi .0,2.0,6 + {0,2^2}.\pi  = 0,28.\pi \left( {{m^2}} \right)\).

Vậy diện tích inox để làm nên chiếc xô hình trụ trên \[0,28\pi \,{m^2}\]

b). Thể tích nước có trong xô là

 \(V = \pi .{R^2}.\frac{2}{3}h = \pi {.0,2^2}.\frac{2}{3}0,6 = 0,016.\pi ({m^3})\)

Ta có: \[OH = OB--BH\; = 1--0,5 = 0,5\] (m).

Lại có \[\cos \widehat {AOH} = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{0,5}}{1} = \frac{1}{2}\]. Suy ra \[\widehat {AOH} = {60^0}\]. Suy ra \[\widehat {AOC} = {120^0}\].

Lại có \[AH = OA.\sin \widehat {AOH} = 1.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]. Suy ra \[AC = 2AH = \sqrt 3 \] (m).

Diện tích hình quạt \(OAC\) là \({S_1} = \frac{{\pi .{R^2}.n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.1}^2}.120}}{{360}} = \frac{\pi }{3}\) (\({m^2}\))

Diện tích tam giác \(OAC\) là \({S_2} = \frac{1}{2}.OH.AC = \frac{1}{2}.0,5.\sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) (\({m^2}\)).

Diện tích hình viên phân (diện tích màu tô đậm) là \[S = \frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4\pi  - 3\sqrt 3 }}{{12}}\] (\({m^2}\)).

Thể tích bồn dầu ban đầu là \({V_1} = \pi {R^2}h = \pi {.1^2}.5 = 5\pi \,\,({m^3})\).

Thể tích phần dầu đã lấy ra là \({V_2} = 5.S = \frac{{5\left( {4\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}}\) (\({m^3}\)).

Thể tích dầu còn lại trong bồn chứa là \[V = {V_1} - {V_2} = 5\pi  - \frac{{5\left( {4\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}} \approx 12,637\].

Vậy bồn còn khoảng 12,637 m3 xăng.