(4,0 điểm)

Một xô nước inox hình trụ (không có nắp đậy) có chiều cao \(0,6\,m\), bán kính đáy \(0,2\;m\)

a). Tính diện tích inox để làm nên chiếc xô hình trụ trên (bỏ qua phần mép nối).

b). Trong xô có chứa nước, mực nước trong xô chiếm \(\frac{2}{3}\) chiều cao của xô. Tính thể tích nước có trong xô.

a) Chứng minh bốn điểm \[A\], \[M\], \[C\], \[O\] cùng thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn \[\left( O \right)\],

+ Do \[AM\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \(MA \bot OA\). Suy ra \(\widehat {MAO} = {90^0}\).

Suy ra \[A\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] (1)

+ Do \[MC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]nên \(MC \bot OC\). Suy ra \(\widehat {MCO} = {90^0}\).

Suy ra \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] (2)

Từ (1) và (2)  suy ra 4 điểm \[A\], \[M\], \[C\], \[O\]cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

b) Chứng minh \(OI.OM = O{A^2}\) và  \[OM\,{\rm{//}}\,BC\].

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có hai tiếp tuyến \[MA\], \[MC\] cắt nhau tại \[M\] suy ra \[MA = MC\]

Mà \[OA = OC = R\]

Suy ra \[OM\] là đường trung trực của \[AC\].

Suy ra \[OM \bot AC\,\,\,(3)\]. Mà \[I \in AC\] nên\[AI \bot OM\].

Xét \[\Delta OIA\] và \[\Delta OAM\] có  (g.g)

Suy ra \[\frac{{OI}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\] hay \[OI.OM = O{A^2}\](đpcm)

Ta có  \(\widehat {{\rm{ACB}}} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\[ \Rightarrow AC \bot BC\]  (4)

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow \]\[OM\,{\rm{//}}\,BC\](đpcm)

c) Chứng minh \[{\bf{K}}\]là trung điểm của \[{\bf{CH}}\].

Do \[CH\,{\rm{//}}\,AM\] (cùng vuông góc với \[AB\]).

\(\widehat {HCA} = \widehat {CAM}\) (hai góc so le trong)           (5)

Mà \[MA = MC\] (cmt) nên \[\Delta MAC\] cân tại \[M\].

\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {{\rm{MCA}}}\)(tính chất tam giác cân) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {MCA} = \widehat {HCA}\).

Suy ra \[AC\] là tia phân giác \(\widehat {{\rm{MCH}}}\).

Mà \(AC \bot CB(cmt)\)

Suy ra \[CB\]là phân giác ngoài tại \[C\] của \[\Delta KCM\]\[ \Rightarrow \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{CK}}{{CM}}(7)\]

 Xét \[\Delta ABM\] có \[KH\,{\rm{//}}\,AM\] (cùng vuông góc với \[AB\])

Suy ra \[\frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KH}}{{AM}}\,\,\,\,(8)\]    

Từ (7) và (8) suy ra \[\frac{{CK}}{{CM}} = \frac{{KH}}{{AM}}\]. Mà \(CM = AM(cmt)\)nên \(CK = KH\).

Vậy \[K\] là trung điểm của \[CH\]  (đpcm)