(4,0 điểm)

Một xô nước inox hình trụ (không có nắp đậy) có chiều cao \(0,6\,m\), bán kính đáy \(0,2\;m\)

a). Tính diện tích inox để làm nên chiếc xô hình trụ trên (bỏ qua phần mép nối).

b). Trong xô có chứa nước, mực nước trong xô chiếm \(\frac{2}{3}\) chiều cao của xô. Tính thể tích nước có trong xô.

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là \(x \left( m \right)\), \(y \left( m \right)\).

Điều kiện: \(x > y > 0\)

Vì chu vi của mảnh đất là \(120 m\) nên \(2\left( {x + y} \right) = 120 \Leftrightarrow x + y = 60\)           \(\left( 1 \right)\)

Diện tích của mảnh dất ban đầu là \(xy \left( {{m^2}} \right)\)

Nếu tăng chiều dài thêm \(5\,m\) và tăng chiều rộng thêm \(3\,m\) thì chiều dài mảnh đất là \(x + 5 \left( m \right)\) và

chiều rộng mảnh đất là \(y + 3 \left( m \right)\). Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm \(245\,{m^2}\) nên

\(\left( {x + 5} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 245 \Rightarrow 5x + 3y = 260\)                      \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),  \left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 60\\5x + 3y = 260\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 20\end{array} \right.\) ( thỏa mãn)

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó là \(40\,m\) và \(20\,m\)

Ta có: \[OH = OB--BH\; = 1--0,5 = 0,5\] (m).

Lại có \[\cos \widehat {AOH} = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{0,5}}{1} = \frac{1}{2}\]. Suy ra \[\widehat {AOH} = {60^0}\]. Suy ra \[\widehat {AOC} = {120^0}\].

Lại có \[AH = OA.\sin \widehat {AOH} = 1.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]. Suy ra \[AC = 2AH = \sqrt 3 \] (m).

Diện tích hình quạt \(OAC\) là \({S_1} = \frac{{\pi .{R^2}.n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.1}^2}.120}}{{360}} = \frac{\pi }{3}\) (\({m^2}\))

Diện tích tam giác \(OAC\) là \({S_2} = \frac{1}{2}.OH.AC = \frac{1}{2}.0,5.\sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) (\({m^2}\)).

Diện tích hình viên phân (diện tích màu tô đậm) là \[S = \frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4\pi  - 3\sqrt 3 }}{{12}}\] (\({m^2}\)).

Thể tích bồn dầu ban đầu là \({V_1} = \pi {R^2}h = \pi {.1^2}.5 = 5\pi \,\,({m^3})\).

Thể tích phần dầu đã lấy ra là \({V_2} = 5.S = \frac{{5\left( {4\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}}\) (\({m^3}\)).

Thể tích dầu còn lại trong bồn chứa là \[V = {V_1} - {V_2} = 5\pi  - \frac{{5\left( {4\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}} \approx 12,637\].

Vậy bồn còn khoảng 12,637 m3 xăng.