(4,0 điểm)

Một cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ. (Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

a) Tính thể tích của cái mũ.

b) Tính tổng diện tích giấy làm nên cái mũ (không tính phần hao hụt).

a) Chứng minh rằng tứ giác \[ABOD\] nội tiếp.

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có \[BC\] là đường kính (gt)

Suy ra \[\widehat {BAC}\, = \,90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Gọi \[M\] là trung điểm của \[BD\].

Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\] có \[AM\] là đường trung tuyến

Suy ra \[AM\, = \,\frac{1}{2}BD\].(1)

Xét \[\Delta OBD\] vuông tại \[O\;\left( {OD \bot BC} \right)\] có \[OM\] là đường trung tuyến

Suy ra \[OM\, = \,\frac{1}{2}BD\].(2)

Từ (1), (2) suy ra \[MA\, = \,MO\, = \,MB\, = \,MD\, = \,\frac{1}{2}BD\]

Do đó tứ giác \[ABOD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BD\].

b) Tiếp tuyến tại điểm \[A\] với đường tròn \[\left( O \right)\] cắt đường thẳng \[BC\] tại điểm \[P\], sao cho \[PB = BO = 2\,{\rm{cm}}\]. Tính độ dài đoạn \[PA\] và số đo góc \[APC\].

Ta có: \[OA\, = \,OB\, = \,BP\, = \,2\,{\rm{cm}}\] suy ra \[OP\, = \,\,4\,{\rm{cm}}\].

Ta có: \[\Delta PAO\] vuông tại \[A\] (\[PA\] là tiếp tuyến)

Suy ra \[P{A^2} + O{A^2}\, = \,O{P^2}\] (định lý Pythagore)

Do đó \[P{A^2} + {2^2}\, = \,{4^2}\] hay \[P{A^2}\, = \,12\] hay \[PA\, = \,2\sqrt 3 \;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Ta có: \[\sin \widehat {APO}\, = \,\frac{{OA}}{{OP}}\, = \,\frac{2}{4}\, = \,\frac{1}{2}\]

Suy ra \[\widehat {APO}\, = \,30^\circ \] hay \[\widehat {APC}\, = \,30^\circ \].

c) Chứng minh rằng \[\frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\].

Kẻ \[OH \bot AB\;\left( {H\, \in \,AB} \right)\].

Xét \[\Delta OAB\] cân tại \[O\] \[\left( {OA\, = \,OB} \right)\] có \[OH\] là đường cao

Suy ra \[OH\] đồng thời là đường phân giác

Do đó \[\widehat {AOH}\, = \,\widehat {BOH}\, = \,\frac{1}{2}\widehat {AOB}\].

Ta lại có: \[\widehat {PAB} + \widehat {BAO}\, = \,90^\circ \] (\[PA\] là tiếp tuyến)

mà \[\widehat {AOH} + \widehat {BAO}\, = \,90^\circ \] (\[\Delta OHA\] vuông tại \[H\])

Suy ra \[\widehat {PAB}\, = \,\widehat {AOH}\, = \,\frac{1}{2}\widehat {AOB}\]

Mặt khác, \[\widehat {ACB}\, = \,\frac{1}{2}\widehat {AOB}\] (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung)

Suy ra \[\widehat {PAB}\, = \,\widehat {ACB}\] hay \[\widehat {PAB}\, = \,\widehat {PCA}\].

Xét \[\Delta PAB\] và \[\Delta PCA\] có:

\[\widehat P\] là góc chung

\[\widehat {PAB}\, = \,\widehat {PCA}\] (cmt)

Suy ra \[\Delta PAB \sim \,\Delta PCA\;\left( {g.g} \right)\]

Do đó \[\frac{{PA}}{{PC}}\, = \,\frac{{PB}}{{PA}}\, = \,\frac{{AB}}{{AC}}\]

Suy ra \[P{A^2}\, = \,PB\,\,.\,\,PC\] và \[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\, = \,\frac{{P{A^2}}}{{P{C^2}}}\]

Từ đó \[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\, = \,\frac{{PB\,\,.\,\,PC}}{{P{C^2}}}\, = \,\frac{{PB}}{{PC}}\].