Góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\,x - 2y + 15 = 0\] và \[{\Delta _2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\,\,\left( {\,t \in \mathbb{R}\,} \right)\] bằng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đặt phương trình chính tắc của \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\), \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). Suy ra \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Chọn \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) là đỉnh hình chữ nhật và \({x_C} > 0,{y_C} > 0\).

\( \Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1\);

Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48\).

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là \(48{m^2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm là gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và có bán kính \(R = 2\).

Họ đường thẳng \(\Delta \) qua\(A\left( { - 1;2} \right)\) là \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\), với \({a^2} + {b^2} \ne 0\).

Vì \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn nên: \({d_{\left( {O;\Delta } \right)}} = R\) hay \(\frac{{\left| {a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a =  - 4b\end{array} \right.\).

Với \(a = 0\), chọn \(b = 1\) ta có \({\Delta _1}:y - 2 = 0\).

Với \(3a =  - 4b\), chọn \(a = 4\) và \(b =  - 3\) ta có :

\({\Delta _2}:4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 10 = 0\).