Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng \(12m\), độ dài trục bé bằng \(8m\). Người ta dự định trồng hoa trong một hình chữ nhật nội tiếp của elip như hình vẽ. Hỏi diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác \(AIB\) có \(IH\) là đường cao.

Mà \(IH = {d_{\left( {I,d} \right)}} = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

Ta có \[{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB \Rightarrow AB = \frac{{2{S_{\Delta IAB}}}}{{IH}} = \frac{{2.4}}{2} = 4 \Rightarrow AH = 2\].

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(IA = \sqrt {A{H^2} + I{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Mà \(AI = R = 2\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = {17^3} = 4913\).

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;17} \right]\) có \(5\) số chia hết cho \(3\) là \(3;6;9;12;15\), có \(6\)  số chia cho \(3\)  dư \(1\) là \(1;4;7;10;13;16\), có \(6\) số chia cho \(3\) dư \(2\) là \(3;5;8;11;14;17\).

Gọi \(A\) là biến cố “ba số được viết ra có tổng chia hết cho \(3\)” có các trường hợp sau:

Trường hợp 1:  Cả ba số viết ra đều chia hết cho \(3\). Trường hợp này có: \({5^3}\) cách viết.

Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho \(3\) dư \(1\). Trường hợp này có: \({6^3}\) cách viết.

Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho \(3\) dư \(2\). Trường hợp này có: \({6^3}\) cách viết.

Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có \(1\) số chia hết cho \(3\) , có \(1\) số chia cho \(3\)  dư \(1\), có \(1\) số chia cho \(3\) dư \(2\). Trong trường hợp này có: \(5.6.6.3!\) cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là:

Số phần tử của biến cố \(A\) là: \({5^3} + {6^3} + {6^3} + 5.6.6.3! = 1637\).

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{1637}}{{4913}}\).