Cho tập \(A\) gồm \(n\) điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có \(3\) điểm nào thẳng hàng. Giá trị của \(n\) sao cho số tam giác có \(3\) đỉnh lấy từ \(3\) điểm thuộc \(A\) gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ \(2\) điểm thuộc \(A\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số tam giác có thể tạo ra từ \(n\) điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: \(C_n^3\left( {n \ge 3} \right)\).

Số đoạn thẳng có thể tạo ra từ \(n\) điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: \(C_n^2\).

Vì số tam giác gấp đôi số đoạn thẳng được tạo ra nên ta có:

 \(C_n^3 = 2C_n^2\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 3} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

\( \Leftrightarrow n - 2 = 6\)

\( \Leftrightarrow n = 8\) (thỏa mãn điều kiện).