Có bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số mà tổng các chữ số bằng \(7\)?

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \left( {a \ne 0} \right)\). Do số cần lập có tổng bằng \(7\) nên ta có các trường hợp.

+ Trường hợp 1: \(a = 7,b = c = d = 0\) có \(1\) số

+ Trường hợp 2: Trong \(4\) chữ số có \(2\) chữ số bằng \(0\)

Chọn vị trí cho hai số \(0\) có \(C_3^2 = 3\) cách

Tổng hai chữ số còn lại bằng \(7\) ta có:

\(7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3\) có \(3.2 = 6\) cách chọn hai số còn lại

Trường hợp này có \(3.6 = 18\) số.

+ Trường hợp 3: Trong \(4\) chữ số có \(1\) chữ số bằng \(0\)

Chọn vị trí cho số \(0\) có \(C_3^1 = 3\) cách

Tổng ba chữ số còn lại bằng \(7\) ta có:

\(7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3\)

Với bộ số \(1;2;4\) có \(3! = 6\) cách chọn ba chữ số còn lại

Với ba bộ số còn lại có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách chọn ba chữ số còn lại

Trường hợp này có \(3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45\) số

+ Trường hợp 4: Không có chữ số nào bằng \(0\)

Ta có \(7 = 1 + 1 + 1 + 4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 2 + 2\)

Với bộ số \(1;1;1;4\) có \(\frac{{4!}}{{3!}} = 4\) số

Với bộ số \(1;1;2;3\) có \(\frac{{4!}}{{2!}} = 12\) số

Với bộ số \(1;2;2;2\) có \(\frac{{4!}}{{3!}} = 4\) số

Trường hợp này có \(4 + 12 + 4 = 20\) số.

Vây có \(1 + 18 + 45 + 20 = 84\) số.