Một tổ công nhân có \(12\) người. Cần chọn \(3\) người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Đặt phương trình chính tắc của \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\), \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). Suy ra \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Chọn \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) là đỉnh hình chữ nhật và \({x_C} > 0,{y_C} > 0\).

\( \Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1\);

Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48\).

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là \(48{m^2}\).

Xét tam giác \(AIB\) có \(IH\) là đường cao.

Mà \(IH = {d_{\left( {I,d} \right)}} = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

Ta có \[{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB \Rightarrow AB = \frac{{2{S_{\Delta IAB}}}}{{IH}} = \frac{{2.4}}{2} = 4 \Rightarrow AH = 2\].

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(IA = \sqrt {A{H^2} + I{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Mà \(AI = R = 2\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).