PHẦN TỰ LUẬN

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \(d:3x - 4y - 1 = 0\) và điểm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn có tâm \(I\)  và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) có diện tích bằng \(4\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đặt phương trình chính tắc của \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\), \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). Suy ra \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Chọn \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) là đỉnh hình chữ nhật và \({x_C} > 0,{y_C} > 0\).

\( \Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1\);

Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48\).

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là \(48{m^2}\).

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \left( {a \ne 0} \right)\). Do số cần lập có tổng bằng \(7\) nên ta có các trường hợp.

+ Trường hợp 1: \(a = 7,b = c = d = 0\) có \(1\) số

+ Trường hợp 2: Trong \(4\) chữ số có \(2\) chữ số bằng \(0\)

Chọn vị trí cho hai số \(0\) có \(C_3^2 = 3\) cách

Tổng hai chữ số còn lại bằng \(7\) ta có:

\(7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3\) có \(3.2 = 6\) cách chọn hai số còn lại

Trường hợp này có \(3.6 = 18\) số.

+ Trường hợp 3: Trong \(4\) chữ số có \(1\) chữ số bằng \(0\)

Chọn vị trí cho số \(0\) có \(C_3^1 = 3\) cách

Tổng ba chữ số còn lại bằng \(7\) ta có:

\(7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3\)

Với bộ số \(1;2;4\) có \(3! = 6\) cách chọn ba chữ số còn lại

Với ba bộ số còn lại có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách chọn ba chữ số còn lại

Trường hợp này có \(3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45\) số

+ Trường hợp 4: Không có chữ số nào bằng \(0\)

Ta có \(7 = 1 + 1 + 1 + 4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 2 + 2\)

Với bộ số \(1;1;1;4\) có \(\frac{{4!}}{{3!}} = 4\) số

Với bộ số \(1;1;2;3\) có \(\frac{{4!}}{{2!}} = 12\) số

Với bộ số \(1;2;2;2\) có \(\frac{{4!}}{{3!}} = 4\) số

Trường hợp này có \(4 + 12 + 4 = 20\) số.

Vây có \(1 + 18 + 45 + 20 = 84\) số.