Gọi \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có \(5\) chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số \(1;\,\,2;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9\). Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập \(A\). Tính xác suất để lấy được luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\) và chúng không đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của tập hợp \(A\) là chỉnh hợp chập \(5\) của \(8\) và bằng \(A_8^5\).

Đặt \(M\) là biến cố lấy được số từ tập \(A\) luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\).

\( \Rightarrow n\left( M \right) = C_6^3.5!\)

Gọi \(N\) là biến cố lấy được số từ tập \(A\) luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\) và chúng không đứng cạnh nhau.

Khi đó \(\overline N \) là biến cố lấy được số từ tập \(A\) luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\) và chúng đứng cạnh nhau.

\( \Rightarrow n\left( {\overline N } \right) = 2!.C_6^3.4!\)

Ta có: \(n\left( N \right) + n\left( {\overline N } \right) = n\left( M \right)\)

\( \Rightarrow n\left( N \right) = n\left( M \right) - n\left( {\overline N } \right) = C_6^3.5!\,\, - 2!.C_6^3.4! = 1\,\,440\).

Vậy xác suất để lấy được luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\) và chúng không đứng cạnh nhau là: \(p\left( N \right) = \frac{{n\left( N \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{1\,\,440}}{{A_8^5}} = \frac{3}{{14}}\).