a) Tính tích \(P\) của tất cả các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}\).

b) Cho mẫu số liệu sau:

20      25      20      30      33      40      38      25      22      90

Tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

a) Xét \(C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}\left( {x \le 12} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!.\left( {14 - x - 2} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {14 - x - 1} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!.\left( {12 - x} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {13 - x} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {12 - x} \right)!}}\left( {\frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right) = 2.\frac{{14!}}{{x!\left( {12 - x} \right)!}}.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right).\left( {13 - x} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{\left( {x + 1} \right).\left( {13 - x} \right)}}\)

\[ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right) = 2\left( {14 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 27x + 182 =  - 2{x^2} + 24x + 56\]

\[ \Leftrightarrow 4{x^2} - 48x + 128 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 8\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tích \(P = 4.8 = 32\).

b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

20      20      22      25      25      30      33      38      40      90

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = \frac{{25 + 30}}{2} = 27,5\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 20      20     22      25      25.

Do đó, \({Q_1} = 22\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 30         33      38      40      90.

Do đó, \({Q_3} = 38\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 38 - 22 = 16\).

Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 22 - 1,5 \cdot 16 =  - 2\); \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 38 + 1,5 \cdot 16 = 62\).

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 90 lớn hơn 62.

Vậy mẫu số liệu đã cho có giá trị bất thường là 90.