Một lớp học có \(20\) học sinh nữ và \(15\) học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \(5\) học sinh sao cho có đủ nam, nữ và số nam ít hơn số nữ?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {73} \).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = \sqrt {73} \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) cần tìm là: \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 73\).

b)

Từ điểm \(I\) kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(d\left( {H \in d} \right)\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là: \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(4\) nên độ dài cạnh \(AB\) bằng: \(2.4:2 = 4\).

\( \Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2\).

Xét tam giác \(AIH\), vuông tại \(H\) có: \(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(IA = 2\sqrt 2 \) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d:2x - 2y + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right)\).

Đường thẳng \(d':x - y + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Ta có \(\frac{1}{1} \ne \frac{1}{{ - 1}}\) nên ta hai vectơ này không cùng phương.

Do đó hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

Ta lại có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) = 0\) nên \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.