Trong một tuần vào dịp nghỉ hè, bạn An dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong \(12\) người bạn của mình. Hỏi bạn An có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(M(4;2) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c =  - 4 - 2b.\)

\(d(A,d) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9(1 + {b^2})\)(1)

Thay \(c =  - 4 - 2b\) vào phương trình (1) ta có: \[31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3\\b =  - \frac{{27}}{{31}}\end{array} \right.\]

Vì \(b\) là số nguyên nên \(b =  - 3,c = 2 \Rightarrow b + c =  - 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).

Do đó đường tròn có tâm \(I = \left( {1;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Do \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên \(d\) có phương trình là \(3x + 4y + k = 0\), \(\left( {k \ne 1} \right)\).

Ta có:

 \(d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k =  - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2  - 11\\k =  - 5\sqrt 2  - 11\end{array} \right.\).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 5\sqrt 2  - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2  - 11 = 0\).