Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món chính trong năm món chính, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một loại nước uống trong ba loại nước uống. Số cách chọn thực đơn là

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nữ của lớp là \(n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \le 28} \right)\).

Suy ra số học sinh nam là \(30 - n\).

Không gian mẫu là chọn bất kì \(3\)  học sinh từ \(30\) học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_{30}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố Chọn được \(2\) học sinh nam và \(1\)  học sinh nữ.

+ Chọn \(2\) nam trong \(30 - n\) nam, có \(C_{30 - n}^2\) cách.

+ Chọn \(1\) nữ trong \(n\) nữ, có \(C_n^1\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_{30 - n}^2.C_n^1\).

Do đó xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}}\) .

Theo giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right)\left( {28 - n} \right)!.n}}{{2!.\left( {28 - n} \right)!}} = 1680\)

\( \Leftrightarrow \left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right).n = 3360 \Leftrightarrow {n^3} - 59{n^2} + 870n - 3360 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \approx 38,82\\n = 14\\n \approx 6,18\end{array} \right.\)

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n = 14\)

Vậy số học sinh nữ của lớp là \(14\) học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

Khi đó phương trình đường thẳng \(AB\) nhận  \(\left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(1\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0\).

b) Ta có: \(A \in {d_1}\) nên \(A\left( {3;a} \right)\), \(\left( {a < 3} \right)\).

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) mà \(ABC\) nội tiếp đường tròn nên \(AC\) là đường kính.

Đường thẳng \({d_1}:x = 3\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;0} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {0;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x - y + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {1;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AC\) nhận \(\left( {0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(y = a\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(\left( {x - 3} \right) + \left( {y - a} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = a + 3\).

Điểm \(C\) là giao của đường thẳng \(AC\) và \({d_2}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = a\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = a - 3\\y = a\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {a - 3;a} \right)\).

Điểm \(B\) là giao của đường thẳng \(AB\) và \({d_2}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - a - 3 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{a}{2}\\y = \frac{a}{2} + 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2} + 3} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AB} \left( {\frac{a}{2} - 3; - \frac{a}{2} + 3} \right) \Rightarrow AB = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|\).

\(\overrightarrow {BC} \left( {\frac{a}{2} - 3;\frac{a}{2} - 3} \right) \Rightarrow BC = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|\).

Diện  tích tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}{\left( {\frac{a}{2} - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{2} - 3 = 2\sqrt 2 \\\frac{a}{2} - 3 =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy tọa độ điểm \(A\left( {3;2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right)\).