Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 25\), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:3x - 4y + 5 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 25\) có tâm \(I(2; - 4)\), bán kính \(R = 5\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông\(y = {t^2} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}t\)góc với đường thẳng \(d:3x - 4y + 5 = 0\) có phương trình dạng:\(4x + 3y + c = 0\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi:

\(d(I;\Delta ) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.2 + 3.( - 4) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {c - 4} \right| = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 4 = 25\\c - 4 =  - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 29\\c =  - 21\end{array} \right.\).

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: \(4x + 3y + 29 = 0\) và \(4x + 3y - 21 = 0\).