Minh cần mua một mảnh vật liệu hình đa giác \({A_1}{A_2}...{A_8}\) nội tiếp elip tâm \(O\) có độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(10m\)và \(8m\). Đa giác có hai trục đối xứng là các trục đối xứng của elip và góc\(\widehat {{A_1}O{A_2}} = 45^\circ \). Minh cần bao nhiêu tiền để mua biết giá của vật liệu \(100\,\,000\) đồng trên \(1\,\,{m^2}\)(làm tròn đến hàng nghìn).

Ta có độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(10m\)và \(8m\) nên \(a = 5,\,b = 4\).

Suy ra phương trình của Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Ta có \(\widehat {{A_1}O{A_2}} = 45^\circ \) nên \({A_2}\) là giao điểm của đường thẳng \(y = x\) và Elip \(\left( E \right)\)

Suy ra \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{x^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow 41{x^2} = 400 \Rightarrow x = \frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}\)

Do đó \({A_2}\left( {\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}};\,\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}} \right)\).

Diện tích tam giác \({A_1}O{A_2}\) là: \({S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2}O{A_1}.d({A_2};O{A_1}) = \frac{1}{2}.5.\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{50\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích tam giác \({A_2}O{A_3}\) là: \({S_{{A_2}O{A_3}}} = \frac{1}{2}O{A_3}.d({A_2};O{A_3}) = \frac{1}{2}.4.\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{40\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

\( \Rightarrow {S_{{A_1}O{A_3}{A_2}}} = {S_{{A_1}O{A_2}}} + {S_{{A_2}O{A_3}}} = \frac{{50\sqrt {41} }}{{41}}\,\, + \,\,\frac{{40\sqrt {41} }}{{41}} = \,\frac{{90\sqrt {41} }}{{41}}\,\left( {{m^2}} \right)\).

Gọi \(S\) là diện tích đa giác \({A_1}{A_2}...{A_8}\) ta có

\(S = 4{S_{{A_1}O{A_3}{A_2}}} = 4\frac{{90\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{360\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Vậy số tiền Minh cần là \(\frac{{360\sqrt {41} }}{{41}}.100\,000 \approx 5\,\,622\,\,000\) (đồng).