Cho đa giác đều \(n\) đỉnh, \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Biết rằng đa giác đã cho có \(135\) đường chéo khi đó giá trị của \(n\) là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đa giác lồi \(n\) đỉnh thì có \(n\) cạnh.

Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong \(n\) đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.

Do đó để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh.

Bằng cách lấy ra \(2\) điểm bất kỳ trong \(n\) điểm ta được số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập \(2\) của \(n\) phần tử.

Như vậy, tổng số đoạn thẳng là \(C_n^2\).

Số cạnh của đa giác lồi là \(n\).

Suy ra số đường chéo của đa giác đều \(n\) đỉnh là

 \[C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\]

Theo bài ra, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18\].