Ba bạn \(A,B,C\) mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;17} \right]\). Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho \(3\)?

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = {17^3} = 4913\).

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;17} \right]\) có \(5\) số chia hết cho \(3\) là \(3;6;9;12;15\), có \(6\)  số chia cho \(3\)  dư \(1\) là \(1;4;7;10;13;16\), có \(6\) số chia cho \(3\) dư \(2\) là \(3;5;8;11;14;17\).

Gọi \(A\) là biến cố “ba số được viết ra có tổng chia hết cho \(3\)” có các trường hợp sau:

Trường hợp 1:  Cả ba số viết ra đều chia hết cho \(3\). Trường hợp này có: \({5^3}\) cách viết.

Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho \(3\) dư \(1\). Trường hợp này có: \({6^3}\) cách viết.

Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho \(3\) dư \(2\). Trường hợp này có: \({6^3}\) cách viết.

Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có \(1\) số chia hết cho \(3\) , có \(1\) số chia cho \(3\)  dư \(1\), có \(1\) số chia cho \(3\) dư \(2\). Trong trường hợp này có: \(5.6.6.3!\) cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là:

Số phần tử của biến cố \(A\) là: \({5^3} + {6^3} + {6^3} + 5.6.6.3! = 1637\).

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{1637}}{{4913}}\).