Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {70^ \circ };\widehat {ABC} = {60^ \circ }\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) (Hình 4) Số đo của góc \(\widehat {AOB}\) bằng.

Xét \(\Delta FHD\) và \(\Delta FDE\) có:

\(\widehat {DFE}\) chung; \(\widehat {FHD} = \widehat {FDE} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FH}}{{FD}} = \frac{{FD}}{{FE}}\) hay \(F{D^2} = FE.FH\) (2)

Xét \(\Delta FAD\) và \(\Delta FDI\) có:

\(\widehat {DFI}\) chung; \(\widehat {FAD} = \widehat {FDI} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FD}}{{FI}} = \frac{{FA}}{{FD}}\) hay \(F{D^2} = FI.FA\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(FK.FB = FI.FA\)

c) Xét \(\Delta FHD\) và \(\Delta FAD\) là hai tam giác vuông.

Tương tự câu a.

Do đó \(A,H,D,F\) thuộc đường tròn đường kính \(FD\) hay tứ giác \(AHFD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(FD.\)

Suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {FDH}\)

Mà \(\widehat {FDH} = \widehat {DEH} = \widehat {DCH} = \widehat {CAB}\)

Hơn nữa \(\widehat {FAH} + \widehat {BAH} = {180^ \circ }\) nên \(\widehat {CAB} + \widehat {BAH} = {180^ \circ }\) hay \(H,A,C\). thẳng hàng (AC cố định)

Vậy khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định AC.

Gọi bề rộng của lối đi là x (m). \(0 < x < \frac{{20}}{2} = 10\)

Diện tích của một phần đất trồng hoa là: \(504:4 = 126\left( {{m^2}} \right)\)

Chiều dài của một phần đất trồng hoa là: \(\frac{{30}}{2} - \frac{x}{2} = \frac{{30 - x}}{2}\left( m \right)\)

Chiều rộng của một phần đất sau khi làm lối đi là: \(\frac{{20}}{2} - \frac{x}{2} = \frac{{20 - x}}{2}\left( m \right)\)

Vì diện tích của một phần đất trồng hoa là \(126{m^2}\) nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{30 - x}}{2}.\frac{{20 - x}}{2} = 126\\\left( {30 - x} \right)\left( {20 - x} \right) = 504\\600 - 30x - 20x + {x^2} - 504 = 0\\{x^2} - 50x + 96 = 0\end{array}\)

\(x = 48\) (loại) hoặc \(x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy bề rộng của lối đi là 2m.