Cho phương trình \({x^2} - 5x - 7 = 0.\) Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) và tính giá trị của biểu thức \(M = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}.\)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ \(C\) đến \(AB\) của \(\Delta ABC\)

\(\Delta AHC\) vuông cân tại \(H\) nên ta có \(HA = HC.\)

\(\Delta BHC\) vuông tại \(H\) nên ta có \(HB = CH.\cot B = CH.\cot 30^\circ = \sqrt 3 .CH\)

Mà \(AH + HB = AB\) hay \(HC + \sqrt 3 .CH = 60\)

\(HC = \frac{{60}}{{1 + \sqrt 3 }}.\)

Do \(\Delta BHC\) vuông tại \(H\) nên \(BC = \frac{{HC}}{{\sin B}} = \frac{{60}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 30^\circ }} = 60\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\,\,\left( m \right).\)

Bán kính đường tròn đáy hình nón là \(R = \frac{{AB}}{2} = 25\left( {cm} \right)\)

Thể tích khối nón là \({V_n} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.25^2}.120 = 25000\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Vì \(R = 25\,cm\) cũng là bán kính của nửa mặt cầu.

nên thể tích của nửa khối cầu phần trên là \({V_{nc}} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}.\pi {R^3} = \frac{2}{3}{.25^3}\pi = \frac{{31250\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích của mô hình chiếc kem là

\(V = {V_n} + {V_{nc}} = 25000\pi + \frac{{31250\pi }}{3} = \frac{{106250}}{3}\pi \left( {c{m^3}} \right)\)