Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{6}{{\sqrt x + 1}} + \frac{6}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2x}}{{x - 1}}} \right):\frac{2}{{x - 1}}\). (với \(x \ge 0,x \ne 1\)) và chứng tỏ \(P \le 9\), với mọi \(x \ge 0,x \ne 1\).

Hưởng ứng phong trào “Đồng hành cùng học sinh vùng khó khăn” của nhà trường, lớp 9A theo kế hoạch cần phải gói \(600\) phần quà tặng giống nhau trong một số giờ quy định. Khi thực hiện, do tăng năng suất nên mỗi giờ lớp 9A gói được nhiều hơn \(30\) phần quà tặng, vì thế lớp 9A đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định \(1\) giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ lớp 9A phải gói bao nhiêu phần quà tặng (biết năng suất gói quà tặng của lớp 9A trong mỗi giờ là bằng nhau)?

Một chiếc mũ chú hề được làm bằng giấy gồm phần vành mũ có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn lớn và đường tròn nhỏ có bán kính lần lượt bằng \(22cm\) và \(10cm\); phần thân mũ có dạng hình nón, không đáy, gắn vào vành mũ (đường tròn đáy của thân mũ trùng với đường tròn nhỏ của vành mũ) và có độ dài đường sinh bằng \(36cm\) (xem hình bên).

Tính tổng diện tích giấy làm chiếc mũ chú hề đó (theo centimét vuông, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, lấy \(\pi \approx 3,141\) và bỏ qua phần giấy gắn kết, hao hụt).

Một nhóm có \(5\) học sinh gồm \(3\) học sinh nam và \(2\) học sinh nữ chuẩn bị thuyết trình về chủ đề bài học. Cô giáo chọn ngẫu nhiên hai bạn của nhóm đó lên thuyết trình trước lớp. Tính xác suất của biến cố \(A\): "Hai học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ".

Chứng tỏ phương trình \({x^2} + 7x - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(M = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\).

Cho tam giác nhọn \(ABC\) (với \(AB < AC\)) có hai đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại điểm \(H\).

1) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn.

2) Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AH\) và \(EF\). Chứng minh rằng \(IA \cdot IH = IE \cdot IF\).

3) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Đường thẳng đi qua điểm \(H\) vuông góc với \(AM\), cắt cung nhỏ  của đường tròn đường kính \(BC\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(AK\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(BC\).