Một hộp có 10 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn 4”.

Vì phương trình \({x^2} - 7x + 5 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lý Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7\\{x_1}{x_2} = 5.\end{array} \right.\)

Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 7x + 5 = 0\) nên \(x_2^2 - 7{x_2} + 5 = 0.\) Do đó \(x_2^2 - 6{x_2} + 9 = {x_2} + 4,\) hay \({\left( {{x_2} - 3} \right)^2} = {x_2} + 4.\) Suy ra \(\left| {{x_2} - 3} \right| = \sqrt {{x_2} + 4} .\)

\(P = \left| {{x_2} - 3} \right| + \sqrt {{x_1} + 4}  = \sqrt {{x_2} + 4}  + \sqrt {{x_1} + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x_2} + 4}  + \sqrt {{x_1} + 4} } \right)}^2}} \)

                                  \(\begin{array}{l} = \sqrt {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 8 + 2\sqrt {4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}.{x_2} + 16} } \\ = \sqrt {15 + 2\sqrt {4.7 + 5 + 16} }  = \sqrt {29} .\end{array}\)A

\(A = \left( {\frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right):\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \cdot \frac{{{\rm{ }}\sqrt x  + 1}}{2}\]

\[ = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\,\, \cdot \frac{{{\rm{ }}\sqrt x  + 1}}{2}\]

\[ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\, = \frac{1}{2}.\]