Chứng minh phương trình \({x^2} - 12x + 35 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\) 

Rút gọn biểu thức: \(Q = 1 + \frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) với mọi \(x \ge 0\).

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) bằng \(2R\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(OB\), vẽ đường thẳng \(a\) qua \(D\) và vuông góc với \(AB\). Trên đường thẳng \(a\), lấy điểm \(C\) nằm ngoài đờng tròn \(\left( O \right)\). Hai đường thẳng \(AC\), \(BC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(E,F\) (với \(E\)khác \(A\), \(F\) khác \(B\)). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AF\) và \(CD\).

a) Chứng minh tứ giác \(BDHF\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(AE \cdot AC = 3{R^2}\).

c) Vẽ \(EI\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\), cho biết \(EI = 8{\rm{cm}}\) và \(R = 10{\rm{cm}}\). Đường thẳng qua \(E\) cắt tia \(DA,DC\) lần lượt tại \(M,N\). Đặt \(IM = x\) (cm),  tính \(DN\) theo \(x\) và tìm \(x\) để diện tích của tam giác \(DMN\) nhỏ nhất.

Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị \((P)\). 

a) Vẽ đồ thị \((P)\). 

b) Tìm tọa độ các giao điểm của \((P)\) và đường thẳng \((d)\): \(y =  - x + 2\). 

Một xe ô tô và một xe máy khởi hành cùng lúc từ A để đi đến B với quãng đường AB dài 16km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn xe máy là 10km/h nên ô tô đến B trước xe máy 48 phút. Tính vận tốc mỗi xe.  

Thực hiện phép tính \(3 \cdot \sqrt {25} - \sqrt[3]{8}\).

Ở một giải vô địch bóng đá, có 5 đội bóng tham gia là A, B, C, D, E. Các đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (mỗi đội thi đấu đúng một trận với các đội còn lại). Trong mỗi trận đấu, đội thua không có điểm, hai đội hòa nhau mỗi đội được một điểm và đội thắng được ba điểm. Khi kết thúc giải, các đội A, B, C, D, E có số điểm tương ứng là 8, 6, 4, 3, 5. Khi đó, có bao nhiêu trận đấu được phân định thắng thua và kết quả của hai trận đấu A gặp C và B gặp D là gì? Vì sao?