Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) bằng \(2R\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(OB\), vẽ đường thẳng \(a\) qua \(D\) và vuông góc với \(AB\). Trên đường thẳng \(a\), lấy điểm \(C\) nằm ngoài đờng tròn \(\left( O \right)\). Hai đường thẳng \(AC\), \(BC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(E,F\) (với \(E\)khác \(A\), \(F\) khác \(B\)). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AF\) và \(CD\).

a) Chứng minh tứ giác \(BDHF\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(AE \cdot AC = 3{R^2}\).

c) Vẽ \(EI\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\), cho biết \(EI = 8{\rm{cm}}\) và \(R = 10{\rm{cm}}\). Đường thẳng qua \(E\) cắt tia \(DA,DC\) lần lượt tại \(M,N\). Đặt \(IM = x\) (cm),  tính \(DN\) theo \(x\) và tìm \(x\) để diện tích của tam giác \(DMN\) nhỏ nhất.

a) Ta có tam giác \(BDH\) vuông tại \(D\). Suy ra 3 điểm \(B,D,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH\).                                                            (1)

Ta có tam giác \(BFH\) vuông tại \(F\). Suy ra 3 điểm \(B,F,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH\).                                                            (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác \(BDHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH\).

b) Từ \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AEB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \\\widehat A{\rm{ chung}}\end{array} \right.\) suy ra \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) đồng dạng.

Do đó \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). Tức là \(AE \cdot AC = AB \cdot AD = 2R \cdot \frac{{3R}}{2} = 3{R^2}\).

c) Ta tính được \(IO = 6\)cm, \(OD = 5\)cm.

Ta có \(EI{\rm{ // }}ND\), suy ra \(\frac{{DN}}{{EI}} = \frac{{DM}}{{MI}}\). Ta tính được \(DN = \frac{{8\left( {x + 11} \right)}}{x}\).

Vì tam giác \(DMN\) vuông tại \(D\) nên diện tích là

\(S = \frac{1}{2}DM \cdot DN = 4\frac{{{{\left( {x + 11} \right)}^2}}}{x} = 4\left( {\frac{{121}}{x} + x + 22} \right)\) (cm2)

Ta lại có \({\left( {\frac{{121}}{x} + x} \right)^2} = {\left( {\frac{{121}}{x} - x} \right)^2} + 4 \cdot \frac{{121}}{x} \cdot x \ge 484\) với mọi \(x > 0\).

Suy ra \(\frac{{121}}{x} + x \ge 22\). Dấu bằng xảy ra khi \(x = 11\).

Vậy \(x = 11\) thì diện tích của tam giác \(DMN\) nhỏ nhất.