Ở một giải vô địch bóng đá, có 5 đội bóng tham gia là A, B, C, D, E. Các đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (mỗi đội thi đấu đúng một trận với các đội còn lại). Trong mỗi trận đấu, đội thua không có điểm, hai đội hòa nhau mỗi đội được một điểm và đội thắng được ba điểm. Khi kết thúc giải, các đội A, B, C, D, E có số điểm tương ứng là 8, 6, 4, 3, 5. Khi đó, có bao nhiêu trận đấu được phân định thắng thua và kết quả của hai trận đấu A gặp C và B gặp D là gì? Vì sao?

Mỗi đội thi đấu đúng 1 trận với 4 đội còn lại, đội A đấu với đội B thì đội B cũng đấu với đội A nên có tất cả: \(\frac{{5 \cdot 4}}{2} = 10\) trận đấu được diễn ra.

Gọi \(x\) là tổng số trận có phân định thắng thua và \(y\)là tổng số trận hòa của giải đấu đó.

Do có 10 trận đấu nên \(x + y = 10\)                              (1)

Một trận đấu có kết quả thắng thua thì tổng điểm của cả hai đội là 3.

Một trận đấu có kết quả hòa thì tổng điểm của cả hai đội là 2.

Tổng số điểm của tất cả các đội là 8 + 6 + 4 + 3 + 5 = 26.

Do đó ta có phương trình \[3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} = {\rm{ }}26\]      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}6\]và \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}4\].

Vậy có 6 trận đấu có phân định thắng thua và 4 trận hòa.

Ta xét số trận hòa của mỗi đội:

Đội A có 8 điểm nên có 2 trận hòa.

Đội B có 6 điểm nên có thể có 3 trận hòa hoặc không có trận hòa nào.

Đội C có 4 điểm nên có thể có 1 trận hòa hoặc không có trận hòa nào.

Đội D có 3 điểm nên có thể có 1 trận hòa hoặc không có trận hòa nào.

Đội E có 5 điểm nên có 2 trận hòa.

Nhận xét: Tổng số trận hòa của tất cả các đội trong giải đấu phải là số chẵn vì nếu đội A hòa đội B thì đội B cũng hòa đội A.

Với nhận xét trên thì ta chỉ xét những trường hợp mà tổng số trận hòa của tất cả các đội trong giải đấu là số chẵn, cụ thể:

- Nếu đội E mỗi đội luôn có 2 trận hòa, đội D hòa 3 trận thì tổng số trận hòa của các đội là 14, suy ra số trận hòa của giải đấu là 7, vô lý.

- Nếu đội B có 3 trận hòa, đội C có 1 trận hòa, đội D hòa 0 trận thì đội C hòa 4 trận thì bất hợp lý vì đội C chỉ có 4 điểm.

- Nếu đội B có 0 trận hòa, đội C và đội D mỗi đội 1 trận hòa, đội E có 2 trận hòa, đội A có 2 trận hòa thì tổng là 6 trận hòa của các đội.

Suy ra có 3 trận hòa. Do đó:

+ Nếu đội B không hòa đội A, C, E và B thua các đội còn lại là đội D. Còn lại 1 trận hòa là trận của đội A với đội E, suy ra đội A thắng đội C.