Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính \(AB = 2R\)(M khác A và B). Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại E và F, AF cắt BE tại K.

1. Chứng minh: \(AE.BF = {R^2}.\)

2. Kéo dài MK cắt AB tại H. Chứng minh K là trung điểm của MH.

Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông chuyên, tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường A và B là 22 em, chiếm tỉ lệ 40% trên tổng số học sinh dự thi của hai trường trên. Nếu tính riêng từng trường thì trường A có 50% học sinh dự thi trúng tuyển và trường B có 28% học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi?

1. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1}  = 5\\3\left| {x + 2} \right| - 2\sqrt {y - 1}  = 1\end{array} \right.\).

2. Giải phương trình: \({x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} \) .

Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 2\left( {m - 1} \right)x - 2m + 5\) (\(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ tương ứng là \({x_1},\,\,{x_2}\) dương và \(\left| {\sqrt {{x_1}}  - \sqrt {{x_2}} } \right| = 2.\)

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\)  và \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }}\)  (với \(x > 0)\).

1. Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 64.\)

2. Rút gọn biểu thức \(B.\)

3. Tìm x để \(\frac{A}{B} > \frac{3}{2}.\)

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{{x - 4}}{{x\sqrt x  - 8}} + \frac{{x + \sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + 3}}\)

(với \(x \ge 0,x \ne 4\)).

1. Tính giá trị của A khi \(x = 9\).

2. Rút gọn \(B\).

3. Tìm điều kiện của \(x\) để \(A \le B.\)

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ CM vuông góc với BD \(\left( {M \in BD} \right).\) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MB và AD. Chứng minh IJ và IC vuông góc với nhau.