Một công ty du lịch định tổ chức tua du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hoàn toàn Miền Nam 30/4. Công ty dự định nếu giá tour là \(2\) triệu đồng thì sẽ có \(200\) người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá \(100\) nghìn đồng/1tour thì sẽ có thêm \(20\) người tham gia. Hỏi công ty giảm giá tua còn bao nhiêu để để tổng doanh thu tour xuyêt Việt là lớn nhất?

a) \(\Delta AHD\) vuông tại \(D\) nên \(A,D,H\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\) (1)

\(\Delta AHE\) vuông tại \(E\) nên \(A,E,H\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A,D,H,E\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\),

hay \(ADHE\) nội tiếp.

b) Vì \(ADHE\) nội tiếp nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{H_1}}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(EC\))

 +) Vì \(\widehat {{H_1}} = \hat C\) (cùng phụ \(\widehat {{H_2}}\)) suy ra \(\hat C = \widehat {{D_1}} = 40^\circ \)

+) Vì \(\widehat {{D_1}} + \widehat {BDE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {BDE} = 180^\circ  - 40^\circ  = 140^\circ \)

c) Kéo dài \(AO\) cắt \((O)\) tại điểm thứ hai \(K \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {ACK} = 90^\circ \)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và \(\widehat {KAC} = \widehat {KBC}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(KC\))

+) Vì \(\widehat {KBC} = \widehat {BAH}\) (cùng phụ \(\widehat {ABH}\)) mà \(\widehat {BAH} + \widehat {DHA} = 90^\circ \)

+) Vì \(\widehat {DHA} = \widehat {DEA} \Rightarrow \widehat {KAC} + \widehat {DEA} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta IAE\) vuông tại \(I\) (\(AK \cap DE = \{ I\} \))

\(AO\) là đường cao của tam giác \(\Delta ADE\) mà \(AM\) cũng là đường cao của \(\Delta ADE\) nên \(M\) là trực tâm của \(\Delta ADE\) nên \(DM \bot AE\).

Gọi \(x{\mkern 1mu} ({\rm{km/h}})\) là vận tốc của người đi xe máy từ Than Uyên đến Tân Uyên \((x > 0)\)

Vận tốc từ Tân Uyên đến Tam Đường là: \(x + 5{\mkern 1mu} ({\rm{km/h}})\)

Thời gian đi từ Than Uyên đến Tân Uyên là: \(\frac{{40}}{x}{\mkern 1mu} ({\rm{h}})\)

Thời gian đi từ Tân Uyên đến Tam Đường là: \(\frac{{30}}{{x + 5}}{\mkern 1mu} ({\rm{h}})\)

Vì tổng thời gian đi là 2h nên ta có phương trình \(20\prime = \frac{1}{3}{\mkern 1mu} {\rm{h}}\), nên:

\(\frac{{40}}{x} + \frac{1}{3} + \frac{{30}}{{x + 5}} = 2 \Rightarrow {x^2} - 37x - 120 = 0\)

Giải phương trình được \({x_1} = - 3\) (loại); \({x_2} = 40\) (thỏa mãn)

Vậy vận tốc từ Than Uyên đến Tân Uyên là \(40{\mkern 1mu} ({\rm{km/h}})\)