Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hai đường thẳng \(({d_1}):y = x - 4\) và \(({d_2}):y = (m - 1)x + 3\) (với \(m\) là tham số).

Đáp án: 172

Ta có: \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB\,.\,AC = \frac{1}{2}\, \cdot \,40\, \cdot \,40 = 800\;\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

\[{S_{qt}} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi \,.\,{{40}^2}\,.\,45}}{{360}} = 200\pi \;\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Ta có diện tích trồng cỏ bằng

\[{S_{\Delta ABC}} - {S_{qt}} = 800 - 200\pi  \approx 172\;\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Đáp án: 48

Đặt \[AD = x\,,\,\,AE = y\] (đơn vị: m, điều kiện \[0 < x < 12\,,\,\,0 < y < 16\]).

\[ \Rightarrow DB = 12 - x\,,\,\,CE = 16 - y\,,\,\,ME = x\,,\,\,DM = y\].

Ta có:

\[ \Rightarrow \frac{{12 - x}}{x} = \frac{y}{{16 - y}} \Rightarrow 192 - 12y - 16x + xy = xy \Leftrightarrow 192 = 16x + 12y\]

Ta có: \[{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \] (*). Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:

\[192 = 16x + 12y \ge 2\sqrt {16x\,.\,12y}  \Leftrightarrow 192 \ge 2\sqrt {192xy}  \Leftrightarrow xy \le \frac{{192}}{2} = 48\].

Vậy diện tích lớn nhất mảnh vườn \(ADME\) là \[48\;\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\] khi

\[\left\{ \begin{array}{l}16x = 12y\\xy = 48\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 8\end{array} \right.\].