Cho một khu đất hình tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 12{\rm{ m}}{\rm{,}}\) \(AC = 16{\rm{ m}}\). Bác An muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật \(ADME\) trên khu đất đó để trồng rau sao cho các đỉnh \(D,\,E,\,M\) lần lượt nằm trên các cạnh \(AB,\,AC,\,BC\) (xem hình vẽ minh họa). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn \(ADME\) theo đơn vị \({{\rm{m}}^2}\).

Đáp án: 48

Đặt \[AD = x\,,\,\,AE = y\] (đơn vị: m, điều kiện \[0 < x < 12\,,\,\,0 < y < 16\]).

\[ \Rightarrow DB = 12 - x\,,\,\,CE = 16 - y\,,\,\,ME = x\,,\,\,DM = y\].

Ta có:

\[ \Rightarrow \frac{{12 - x}}{x} = \frac{y}{{16 - y}} \Rightarrow 192 - 12y - 16x + xy = xy \Leftrightarrow 192 = 16x + 12y\]

Ta có: \[{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \] (*). Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:

\[192 = 16x + 12y \ge 2\sqrt {16x\,.\,12y}  \Leftrightarrow 192 \ge 2\sqrt {192xy}  \Leftrightarrow xy \le \frac{{192}}{2} = 48\].

Vậy diện tích lớn nhất mảnh vườn \(ADME\) là \[48\;\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\] khi

\[\left\{ \begin{array}{l}16x = 12y\\xy = 48\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 8\end{array} \right.\].