Cho tam giác \[ABC{\rm{ }}\left( {AB < AC} \right)\]nội tiếp đường tròn (O) . Vẽ đường kính MN \( \bot \)BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) . Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của ∆ABC.

a.   

a.  Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACB} = 90^\circ ,\) suy ra \(\widehat {MCN} = 90^\circ .\)

Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có \(\widehat {MCN} = 90^\circ ,\) suy ra \(M,I,N\) thẳng hàng.

b.    Đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( I \right)\) tiếp xúc với nhau tại \(C\) suy ra \(O,I,C\) thẳng hàng.

\(\Delta ICN\) cân\( \Rightarrow \widehat {INC} = \widehat {ICN;}\)

\(\Delta OCB\) cân\( \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}.\)

Suy ra \(\widehat {INC} = \widehat {OBC,}\) dẫn tới \(MN\)//\(AB\) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Ta có \(ID \bot AB\)(tính chất của tiếp tuyến), do đó \(ID \bot MN.\)

c.     Ta có   suy ra \(\widehat {MCD} = \widehat {NCD.}\) Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(CD\) với đường tròn \(\left( O \right)\), ta được 

Vậy \(E\) là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính \(AB\) (nửa này không chứa điểm \(C\)). Do đó đường thẳng \(CD\)CD luôn đi qua một điểm cố định. Ta suy ra cách dựng đường tròn \(\left( I \right)\) như sau:

-       Dựng bán kính \(OE \bot AB\) (\(E\) thuộc nửa đường tròn không chứa \(C).\)

-       Nối \(CE\) cắt \(AB\) tại \(D.\)

-       Từ điểm \(D\) dựng một đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(OC\) tại \(I.\)

-       Dựng đường tròn \(\left( {I;ID} \right)\) đó là đường tròn phải dựng.

a. 

a.   Ta có 

Suy ra  do các tam giác \(\Delta FAC\) và \(\Delta FEM\) vuông cân tại \(F,\) do đó \(AE = CM.\) Ta có \(\widehat {CAE} = \widehat {AEM}\left( { = 45^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow AC\)//\(ME\), dẫn tới từ giác \(ACEM\) là hình thang cân.

b.    Ta có \(CH\)//\(OM \Rightarrow \widehat {HCM} = \widehat {OMC}.\)

Mặt khác, \(\widehat {OCM} = \widehat {OMC}\)

suy ra \(\widehat {HCM} = \widehat {OCM} \Rightarrow \)Tia \(CO\) là tia phân giác của góc \(HCO\).

c.      

\( \Rightarrow \frac{{CD}}{{MD}} = \frac{{CH}}{{MO}} = \frac{{DH}}{{DO}} \le 1 \Rightarrow CD \le MD\) hay \(CD \le \frac{1}{2}CM.\) Do đó \(CD \le \frac{1}{2}AE.\)