Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn $({\rm{O}})$. Biết rằng đường tròn $({\rm{O}})$ có bán kính bằng 3 cm . Tính diện tích tam giác ABC

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Kẻ đường cao AH vì tam giác ABC đều (gt) nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc BAC , ta có: $\hat{BAH} = \hat{CAH} = \frac{\hat{BAC}}{2} = \frac{60^{°}}{2} = 30^{°}$ Kéo dài AH cắt đường tròn $({\rm{O}})$ tại D .

$Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn $({\rm{O}})$. Biết rằng đường tròn $({\rm{O}})$ có bán kính bằng 3 cm . Tính diện tích tam giác ABC (ảnh 1)$

Khi đó $\widehat {{\rm{BOD}}}$ và $\widehat {{\rm{BAD}}}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BD $\Rightarrow \hat{BOD} = 2 \hat{BAD} = {2.30}^{°} = 60^{°}$

Tam giác BHO vuông tại H có cạnh huyền ${\rm{OB}} = 3\;{\rm{cm}}$ (gt) và $\hat{BOD} = 60^{°}$ . Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $BH = OB \cdot \sin BOH = 3 \cdot \sin 60^{°} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (cm)$

Vì đều nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC . $\Rightarrow BC = 2 BH = 2 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} (cm)$

Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền ${\rm{AB}} = {\rm{BC}} = 3\sqrt 3 (\;{\rm{cm}})$ và góc $\hat{BAH} = 30^{°} (cmt)$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $AH = AB \cdot \cos BAH = 3 \sqrt{3} \cdot \cos 30^{°} = \frac{9}{2} (cm)$

Gọi ${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}$ là diện tích tam giác đều, ta có: ${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{AH}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt 3 = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Ba đường tròn tiếp xúc với nhau từng đôi một và tiếp xúc với các cạnh của tam giác như hình bên. Nếu mỗi đường tròn có bán kính là 3, thì chu vi của tam giác sẽ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Từ tâm \[P\] và \[Q\] vẽ \[PQ\] và \[CQ\] vuông góc với cạnh \[AD\] của tam giác

Các tam giác \[APB\] và \[DQC\] là nửa tam giác đều với \[PB = QC = 3\]

\[ \Rightarrow AB = CD = 3\sqrt 3 ;BC = PQ = 6 \Rightarrow AD = 6 + 6\sqrt 3 \]

Vậy chu vi tam giác là: \[18 + 18\sqrt 3 \]

Câu 2

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai đường kính vuông góc $AB,CD$. Trên bán kính $AO$ lấy đoạn $AI = \frac{{2AO}}{3}$, vẽ tia $CI$ cắt $\left( O \right)$ tại $E$. Tính $R$ theo $CE$

$Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $AI = \frac{{2AO}}{3} = \frac{{2R}}{3} \Rightarrow OI = R - \frac{{2R}}{3} = \frac{R}{3}$

$\Delta OCI$ vuông tại $O$, ta có:

$CI = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{R}{3}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt {10} }}{3}$

$\Delta CED$ nội tiếp đường tròn $O$ có cạnh $CD$ là đường kính $ \Rightarrow \Delta CED$ vuông tại $E$

Hai tam giác vuông $OCI$ và $CED$ có $\widehat C:chung$

$ \Rightarrow \Delta COI \sim \Delta CED \Rightarrow \frac{{CO}}{{CE}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow CE = \frac{{CO.CD}}{{CI}}$

$ = \frac{{R.2R}}{{R\frac{{\sqrt {10} }}{3}}} = \frac{{6R}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3R\sqrt {10} }}{5}$

Câu 3