Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng \(\widehat {{\rm{BAH}}} = \widehat {{\rm{OAC}}}\).

Từ tâm \[P\] và \[Q\] vẽ \[PQ\] và \[CQ\] vuông góc với cạnh \[AD\] của tam giác

Các tam giác \[APB\] và \[DQC\] là nửa tam giác đều với \[PB = QC = 3\]

\[ \Rightarrow AB = CD = 3\sqrt 3 ;BC = PQ = 6 \Rightarrow AD = 6 + 6\sqrt 3 \]

Vậy chu vi tam giác là: \[18 + 18\sqrt 3 \]

Ta có \(AI = \frac{{2AO}}{3} = \frac{{2R}}{3} \Rightarrow OI = R - \frac{{2R}}{3} = \frac{R}{3}\)

\(\Delta OCI\) vuông tại \(O\), ta có:

\(CI = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}}  = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{R}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt {10} }}{3}\)

\(\Delta CED\) nội tiếp đường tròn \(O\) có cạnh \(CD\) là đường kính \( \Rightarrow \Delta CED\) vuông tại \(E\)

Hai tam giác vuông \(OCI\) và \(CED\) có \(\widehat C:chung\)

\( \Rightarrow \Delta COI \sim \Delta CED \Rightarrow \frac{{CO}}{{CE}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow CE = \frac{{CO.CD}}{{CI}}\)

\( = \frac{{R.2R}}{{R\frac{{\sqrt {10} }}{3}}} = \frac{{6R}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3R\sqrt {10} }}{5}\)