Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {2^x}\), \(y =  - x + 6\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) bằng

Diện tích đáy của hình trụ là: \({\rm{S}} = \pi {x^2}\)

Dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu nên ta có phương trình

\(\pi \int\limits_0^x {(10 + } \sqrt x {)^2}dx = \frac{1}{2}\pi \int\limits_0^{16} {(10 + } \sqrt x {)^2}dx \Leftrightarrow \pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^x = \frac{1}{2}\pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16}\)

\( \Leftrightarrow 100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\)

Đặt t =\(\sqrt x \)(t>0)

Ta được phương trình \(100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\). Đặt \(f(t) = 100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2}\)

\(f'(t) = 200t + 40{t^2} + 2{t^3} > 0\,\,\,(\forall t > 0)\)nên \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\)

Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất t \( \approx 2,990279433\)