Cho hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \,\,\,(x \ge  - 2)\) và đường thẳng \(y = x\).

a) Đúng.

Diện tích cần tìm là \({S_D} = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2} } \right|{\rm{d}}x} \)

Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\)thì  \(\sqrt {x + 2}  \ge 0\) nên

\({S_D} = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2} } \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {\sqrt {x + 2} {\rm{ d}}x}  = \int\limits_0^2 {{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{1}{2}}}{\rm{d}}x}  = \frac{2}{3}\left. {{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\,\).

b) Sai.

Diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2}  - x} \right|{\rm{d}}x} \)

Ta có \(\sqrt {x + 2}  - x = 0 \Leftrightarrow x = 2\)  (\(x \ge 0\))

Vậy\[S = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2}  - x} \right|{\rm{d}}x}  = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {x + 2}  - x} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_0^2 {\sqrt {x + 2} {\rm{ d}}x - \int\limits_0^2 {x{\rm{d}}x} } } \right| = \left| {\int\limits_0^2 {{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{1}{2}}}{\rm{d}}x}  - \int\limits_0^2 {x{\rm{d}}x} } \right|\]\[ = \left| {\frac{2}{3}\left. {{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^2 - \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2} \right| = \frac{{10}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\] (đvdt).

c) Sai.

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}{\rm{d}}x}  = \pi \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^3 = \frac{{26}}{3}\pi \) (đvtt).

d) Đúng.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \[Ox\] là: