Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng \(A\) và \(B\) lần lượt là \({S_A} = 4\) và \({S_B} = 10\). Tính giá trị của \(f\left( 3 \right)\), biết giá trị của \(f\left( 0 \right) = 2\).

Ta có:

Hình phẳng \(A\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), trục hoành \(y = 0\), trục tung \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) nên diện tích hình phẳng \(A\) là:

\({S_A} = \int\limits_0^1 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{ d}}x}  = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{ d}}x}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) = {S_A} + f\left( 0 \right) = 4 + 2 = 6\).

Lại có:

Hình phẳng \(B\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), trục hoành \(y = 0\), đường thẳng \(x = 1\) và đường thẳng \(x = 3\) nên diện tích hình phẳng \(B\) là:

\({S_B} = \int\limits_1^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{ d}}x}  =  - \int\limits_1^3 {f'\left( x \right){\rm{ d}}x}  = \left. { - f\left( x \right)} \right|_1^3 =  - \left[ {f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)} \right] =  - f\left( 3 \right) + f\left( 1 \right)\).

Suy ra \(f\left( 3 \right) = f\left( 1 \right) - {S_B} = 6 - 10 =  - 4\).