Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], tính góc giữa hai đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + t\\z = 5\end{array} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2t'\\y =  - 3 + t'\\z = 1 - 2t'\end{array} \right.\].

Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ\[Oxyz\]. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y = 1 + t\\z =  - 2 + 4t\end{array} \right.\) cắt mặt bàn \(\left( P \right):x + y - 2z + 6 = 0\) tại điểm F. Độ dài chân bàn \(FA = 40\sqrt 3 \,cm\), khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là bao nhiêu cm?

Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn với nhau tạo thành hình chữ  V vào các thanh đà sao cho chuẩn xác nhất. Biết phương trình mặt phẳng chứa 2 mái là \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\), điểm A là nóc ngói, 2 điểm B, F là rìa đuôi ngói của mỗi mái tiếp xúc giữa mái và  thanh đà như hình vẽ (các thanh đà dài như nhau) khi cố định phần dưới của ngôi nhà. Khoảng cách \(BF = 20\,m\), khi đó tỉ số độ dài của thanh đà AF và khoảng cách BF bằng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}.\) Biết rằng trong mặt phẳng \((P)\) có hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) cùng đi qua điểm \(A(1; - 1;1)\) và cùng cách đường thẳng \(d\) một khoảng bằng \(1\). Tính \(\sin \varphi \) với \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}.\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = 4\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):4x - 4y + 3z - 2 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {m\,;n\,;1} \right)\). Khi \(\Delta \) tạo với \(\left( Q \right)\) một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 3z - 1 = 0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2t\\z = t\end{array} \right.\).