Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 3z - 1 = 0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2t\\z = t\end{array} \right.\).

              a) đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 3z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)\).

              b) \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{6}{{11}}} \].

              c) Vì \(\left( Q \right)\)song song với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\). Do đó:

              \[\sin \left( {d,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{6}{{11}}}  = \frac{{\sqrt {66} }}{{11}}\].

              d) Gọi \(\left( R \right):Ax + By + Cz = 0\) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ, vuông góc với \(\left( P \right)\) và tạo với \(d\) một góc  \({30^o}\).

              Ta có: \(\left( R \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow A - B + 3C = 0 \Rightarrow A = B - 3C\).

              Mặt khác: \[\sin \left( {d;\left( R \right)} \right) = \sin {30^o} = \frac{1}{2}\]

              \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {A - 2B + C} \right|}}{{\sqrt {6.\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\left( { - B - 2C} \right)^2} = 6\left( {2{B^2} + 10{C^2} - 6BC} \right)\\ \Leftrightarrow 8{B^2} - 52BC + 44{C^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = C\\B = \frac{{11}}{2}C\end{array} \right.\end{array}\]

              Với \[B = C\], chọn \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2;1;1} \right)\] là vectơ pháp tuyến của \(\left( R \right)\)

              Với \[B = \frac{{11}}{2}C\], chọn \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5;11;2} \right)\] là vectơ pháp tuyến của \(\left( R \right)\)