Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật,\(AB = 1,\;BC = \sqrt 3 ,\;SA = 1\) và \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:
a) Tọa độ các điểm \(B,C\) là \(B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\) .
Đúng
Sai
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(SB\) là \(\overrightarrow u = \left( {1;\; - 1;\;1} \right)\).
Đúng
Sai
c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\).
Đúng
Sai
d) Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Đúng
Sai
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Đ |
b) S |
c) Đ |
d) Đ |
Ta có:\(A\left( {0;\;0;\;0} \right),B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),D\left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),S\left( {0;\;0;\;1} \right)\)
* Phương án a) đúng: \(B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)
* Phương án b) sai: Đường thẳng \[SB\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right)\)
* Phương án c) đúng:
Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),\)\(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\]
Vậy mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\).
* Phương án d) đúng:
Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),\)\[\overrightarrow {BC} = \left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\]\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;0;\;\sqrt 3 } \right).\] Suy ra mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\;0;\;1} \right)\).
Đường thẳng \[BD\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {BD} = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {u.} \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{2.\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid36-1770300557.png)
Lời giải
![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid37-1770300563.png)
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2;1} \right)\).
\({\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) \( \Rightarrow \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \)
Khi ráp 2 mái tiếp xúc với các thanh đà bên dưới ta được\(\widehat {{\rm{BAF}}} = \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \).
Theo đề tam giác ABF cân tại A vì \(AB = AF\)\( \Rightarrow \widehat {AFB} = 57^\circ \)
Gọi H là trung điểm BF, khi đó AH cũng là đường cao trong tam giác cân ABF.
\(AF = \frac{{HF}}{{cos\widehat {AFH}}} \approx 18,4\,m\)
Tỉ số \[\frac{{AF}}{{BF}} = 0,92\].Câu 2
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{4}\).
C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
D. \(\frac{1}{{\sqrt 7 }}\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \,\,\,BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAB} \right) \bot BC\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\end{array} \right.\) nên \(\left( {\left( {SBC} \right)\,,\;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB\,,\;AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Suy ra \(SH = BH\tan 60^\circ = 2\sqrt 3 \).
Chọn hệ tọa độ \(Hxyz\) như hình vẽ.
Ta có \(H\left( {0\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(C\left( {2\,;\;4\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\) với \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).
Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt ba trục \(Hx\), \(Hy\), \(Hz\) lần lượt tại các điểm \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\) nên có phương trình: \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{2\sqrt 3 }} = 1\) \( \Leftrightarrow \,\,\, - 3x + 3y + \sqrt 3 z - 6 = 0\).
Gọi \[\varphi \] là góc giữa \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), ta có \[\cos \varphi = \frac{{\left| {1.\sqrt 3 } \right|}}{{1.\sqrt {9 + 9 + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\].
Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \[\frac{1}{{\sqrt 7 }}\].
Câu 3
A. \(66^\circ \).
B. \(69^\circ \).
C. \(70^\circ \).
D. \(71^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[{30^0}\].
B. \[{45^0}\].
C. \[{90^0}\].
D. \[{60^0}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
B. \[\frac{1}{2}\].
C. \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(30^\circ \).
B. \(45^\circ \).
C. \(60^\circ \).
D. \(90^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập