Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại\[B\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Biết \(SA = a\sqrt 3 \), \(AC = a\sqrt 2 \). Góc giữa đường thẳng \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng?

Có \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(C'B \bot AB\).

Có \(\left( {ABCD} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(D\), bờ là đường thẳng \(AB\). Có \(BC \subset \left( {ABCD} \right)\) và \(BC \bot AB\).

Suy ra góc \(\widehat {C'BC}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {C',AB,D} \right]\).

Tam giác \(CBC'\)vuông tại \(C\). Do đó \(BC' = \sqrt {B{C^2} + C{{C'}^2}}  = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a\).

Ta có \[\cos \widehat {CBC'} = \frac{{BC}}{{BC'}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\].

Giả sử hai mái ngói là hai hình chữ nhật \(OAA'O'\) và \(OBB'O'\). Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OAA'O'} \right) \cap \left( {OBB'O'} \right) = OO'\\OA \bot OO',\,OA \subset \left( {OAA'O'} \right)\\OB \bot OO',\,OB \subset \left( {OBB'O'} \right)\end{array} \right.\) nên \(\widehat {AOB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,OO',B} \right]\).

Áp dụng hệ quả định lý cosin cho tam giác \(OAB\) ta được:

\(\cos \widehat {AOB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \frac{{2,{2^2} + {3^2} - 3,{8^2}}}{{2.2,2.3}} =  - \frac{1}{{22}}\)\[ \Rightarrow \widehat {AOB} \approx 92^\circ 36'\].