Một tấm ván hình chữ nhật có chiều dài gấp ba chiều rộng được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật khỏi hố sâu \(2\,m\); chiều dài của tấm ván được đặt theo chiều dài của con dốc. Tính diện tích của tấm ván cần dùng biết rằng để có thể kéo vật lên thuận lợi thì số đo của góc phẳng nhị diện tạo bởi tấm ván và mặt nền của hố là \(30^\circ \).

Có \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(C'B \bot AB\).

Có \(\left( {ABCD} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(D\), bờ là đường thẳng \(AB\). Có \(BC \subset \left( {ABCD} \right)\) và \(BC \bot AB\).

Suy ra góc \(\widehat {C'BC}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {C',AB,D} \right]\).

Tam giác \(CBC'\)vuông tại \(C\). Do đó \(BC' = \sqrt {B{C^2} + C{{C'}^2}}  = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a\).

Ta có \[\cos \widehat {CBC'} = \frac{{BC}}{{BC'}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\].

Giả sử hai mái ngói là hai hình chữ nhật \(OAA'O'\) và \(OBB'O'\). Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OAA'O'} \right) \cap \left( {OBB'O'} \right) = OO'\\OA \bot OO',\,OA \subset \left( {OAA'O'} \right)\\OB \bot OO',\,OB \subset \left( {OBB'O'} \right)\end{array} \right.\) nên \(\widehat {AOB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,OO',B} \right]\).

Áp dụng hệ quả định lý cosin cho tam giác \(OAB\) ta được:

\(\cos \widehat {AOB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \frac{{2,{2^2} + {3^2} - 3,{8^2}}}{{2.2,2.3}} =  - \frac{1}{{22}}\)\[ \Rightarrow \widehat {AOB} \approx 92^\circ 36'\].