Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}\). Biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \) và cắt mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] theo một đường tròn có bán kính bằng \(2\). Tìm tọa độ của điểm \(I.\)

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cách đều hai điểm \(A;B\) khi và chỉ khi \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) hoặc \(\left( \alpha  \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\).

Trường hợp 1: \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) ta có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AB} \,} \right] = \left( {5\,;\,10\,;\,9} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(5\left( {x - 2} \right) + 10\left( {y - 1} \right) + 9\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(5x + 10y + 9z - 74 = 0\).

Trường hợp 2: \(\left( \alpha  \right)\) qua trung điểm \(I\left( {5\,;\,\frac{9}{2}\,;\,0} \right)\) của \(AB\) có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {CI}  = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\, - 6} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} \,,\,\overrightarrow {CI} } \right] = \left( { - \frac{{13}}{2}\,;\, - 9\,;\, - \frac{{17}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\left( {13;18;17} \right)\).

Chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left( {13;\,18;\,17} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(13\left( {x - 2} \right) + 18\left( {y - 1} \right) + 17\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(13x + 18y + 17z - 146 = 0\).

Chọn C.

Lời giải

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là \( - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5\) (s).

Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là: \({S_2} = \int\limits_0^5 {\left( { - 2t + 10} \right){\rm{d}}t}  = 25\) (m).

Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô đi với vận tốc 10 m/s và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là \({S_1} = 3 \cdot 10 = 30\) (m).

Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quãng đường \(S = {S_1} + {S_2} = 30 + 25 = 55\) (m). Chọn A.