Cho \[A\], \[B\] là hai biến cố xung khắc. Biết \(P\left( A \right) = \frac{1}{5}\), \(P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{3}\). Tính \[P\left( B \right)\].

Gọi \(A\) là biến cố: "Chiến thắng Công trong ván cờ", \(B\) là biến cố: "Công thắng Chiến trong ván cờ" và \(C\) : "Công và Chiến hoà nhau trong ván cờ".

Dễ thấy \(A,B,C\) là các biến cố xung khắc.

Theo giả thiết thì ván đấu thứ nhất hai bạn hoà nhau, ván đấu thứ hai sẽ có thắng thua.

Xét ván thứ nhất: \(P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0,3 - 0,4 = 0,3\).

Xét ván thứ hai: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,4 = 0,7\).

Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván đấu là \(P = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21\).

Gọi \({A_i}(1 \le i \le 3,i \in \mathbb{N})\) lần lượt là biến cố: "Xạ thủ thứ \(i\) bắn trúng đích".

Xác suất để xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là: \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,8;P\left( {{A_2}} \right) = 0,6;P\left( {{A_3}} \right) = 0,5\).

Gọi \(X\) là biến cố: "Có đúng hai xạ thủ bắn trúng đích".

Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{P(X)}&{ = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_3}} \right) + P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) + P\left( {{{\bar A}_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right)}\\{}&{ = 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,5 = 0,46}\end{array}\)