Câu hỏi:

07/04/2026 2,176

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3; - 4;1)$, $B(1;1; - 1)$ và $C(2;0; - 3)$. Khi đó

a) [NB] Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là $(0;0;1)$.

Đúng

Sai

b) [TH] Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $(2;1; - 1)$.

Đúng

Sai

c) [TH] Biết rằng điểm $I$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0$. Cao độ của điểm $I$ bằng $2.$

Đúng

Sai

d) [VD,VDC] Xét $M$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = M{A^2} + 3M{B^2} - 2M{C^2}$ bằng $\frac{{13}}{2}$

Đúng

Sai

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Bắc Ninh có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là $(3; - 4;0)$.

Suy ra câu a) Sai.

b) Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $(2; - 1; - 1)$.

Suy ra câu b) Sai.

c) $\overrightarrow {OI} = \frac{{\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC} }}{{1 + 3 - 2}} \Rightarrow I\left( {1; - \frac{1}{2};2} \right)$

Suy ra câu c) Đúng.
d) $S = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + 3{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} - 2{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )^2}$
$ = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA} + I{A^2} + 3M{I^2} + 3 \cdot 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IB} + 3I{B^2} - 2M{I^2} - 2 \cdot 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IC} - 2I{C^2}$
$ = 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} ) + (I{A^2} + 3I{B^2} - 2I{C^2})$
$ \Leftrightarrow S = 2M{I^2} + \mathop {(I{A^2} + 3I{B^2} - 2I{C^2})}\limits_{} $
${S_{min}}$ khi $M{I_{min}} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$ hay $M\left( {1; - \frac{1}{2};0} \right)$

Khi đó: $M{I^2} = 4$, $I{A^2} = \frac{{69}}{4}$, $I{B^2} = \frac{{45}}{4}$, $I{C^2} = \frac{{105}}{4}$

Vậy ${S_{min}} = \frac{{13}}{2}$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $1000$ con. Gọi $P\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ $\left( {t \ge 0} \right)$. Tốc độ tăng trưởng vi khuẩn của quần thể này tại thời điểm $t$ được cho bởi hàm số $P'\left( t \right) = kt$, trong đó $k$ là một hằng số. Biết rằng sau $2$ giờ, số lượng vi khuẩn của quần thể tăng lên thành $1400$ vi khuẩn.

a) [NB] Số lượng vi khuẩn $P\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số tốc độ tăng trưởng $P'\left( t \right)$.

Đúng

Sai

b) [VD] Số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ là $P\left( t \right) = 200{t^2} + 1000$.

Đúng

Sai

c) [TH] Sau $5$giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm $2500$con so với thời điểm ban đầu.

Đúng

Sai

d) [TH] Sau $9$ giờ, số lượng vi khuẩn vượt quá $10000$ con.

Đúng

Sai

Lời giải

a) Số lượng vi khuẩn $P\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số tốc độ tăng trưởng $P'\left( t \right)$: Đúng theo định nghĩa nguyên hàm

b) Số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ là \[P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)dt\, = \,\int {kt\,dt\, = \,} } \frac{k}{2}{t^2} + C\].

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}P\left( 0 \right) = 1000\\P\left( 2 \right) = 1400\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}C = 1000\\\frac{k}{2}.4 + 1000 = 1400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 1000\\k = 200\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,P\left( t \right) = 100{t^2} + 1000$

Do đó b) Sai

c) Sau $5$giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm so với thời điểm ban đầu là $\,P\left( 5 \right) - 1000 = 2500$

Vây c) Đúng

d) Sau $9$ giờ, số lượng vi khuẩn là $\,P(9) = 8100 + 1000 = 9100 < 10000$.

Vây d) Sai

Câu 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

$Cho hàm số y = f(x)= {{a{x^2} + bx + c} / {x + d} (ảnh 1)$

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;4} \right)$.

Đúng

Sai

b) Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng $ - 12$.

Đúng

Sai

c) Cho điểm $M$ có hoành độ lớn hơn $2$, di chuyển trên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm $M$ đến hai trục tọa độ bằng $4 + 4\sqrt 2 $.

Đúng

Sai

d) $a + b + c + d = - 5$.

Đúng

Sai

Lời giải

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$.

b) Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng $ - 6 \times 2 = - 12$.

c) Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$$ \Rightarrow d = - 2$.

Điểm $\left( {0;2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$$ \Rightarrow \frac{c}{d} = 2 \Rightarrow c = 2 \times \left( { - 2} \right) = - 4$.

Khi đó: $f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx - 4}}{{x - 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{a{x^2} - 4ax - 2b + 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f\left( 4 \right) = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2b + 4}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{16a + 4}}{2} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}$.

Giả sử $M\left( {m;\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right)$$\left( {m > 2} \right)$\[ \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = \left| m \right| + \left| {\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right|\]

$ \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = g\left( m \right) = m + \frac{{{m^2} - 2m + 4}}{{m - 2}} = \frac{{2{m^2} - 4m + 4}}{{m - 2}}$.

Xét $g'\left( m \right) = \frac{{2{m^2} - 8m + 4}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow m = 2 + \sqrt 2 \Rightarrow {g_{\min }} = {\left[ {d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right)} \right]_{\min }} = 4 + 4\sqrt 2 $.

d) Ta có: $a + b + c + d = - 1 + 2 - 4 - 2 = - 5$.

Câu 3