Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho \[A = \left( {2;0} \right)\], \[B = \left( {0;2} \right)\]. Tính độ dài đường phân giác trong \[OD\] của tam giác \[OAB\].

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\).

Đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) đi qua \(M(1;5)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = (1;1)\) là

\(d:x + y - 6 = 0.\)

- Tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \) nên tọa độ \(I\) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 6 = 0}\\{x - 2y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{7}{3}}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array} \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right).} \right.} \right.\)

- Bán kính: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - \frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{11}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy phương trình đường tròn là \((C):{\left( {x - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{11}}{3}} \right)^2} = \frac{{50}}{9}\).

Phương trình đường tròn (C) có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\) tâm \(I(a;b)\).

Vì \((C)\) tiếp xúc với \(Oy\) tại \(K(0;6) \Rightarrow I(a;b) \in \Delta :y = 6 \Rightarrow b = 6\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A(9;9) \in (C) \Rightarrow  - 18a - 18b + c =  - 102\\K(0;6) \in (C) \Rightarrow  - 12b + c =  - 36\end{array}\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{18a + 18b - c = 162}\\{12b - c = 36}\\{b =  - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5}\\{b = 6.{\rm{ }}}\\{c = 36}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \((C):{x^2} + {y^2} - 10x - 12y + 36 = 0\).