Cho hai điểm \(M,N\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM}  =  - 4\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\).

Đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) đi qua \(M(1;5)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = (1;1)\) là

\(d:x + y - 6 = 0.\)

- Tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \) nên tọa độ \(I\) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 6 = 0}\\{x - 2y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{7}{3}}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array} \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right).} \right.} \right.\)

- Bán kính: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - \frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{11}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy phương trình đường tròn là \((C):{\left( {x - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{11}}{3}} \right)^2} = \frac{{50}}{9}\).

Gọi đường tròn cần tìm là \((I;R)\) với \(I(a;b)\) là tâm đường tròn.

Đường tròn \((I;R)\) tiếp xúc với các trục \(Ox;Oy\) nên

\(d(I;Ox) = d(I;Oy) = R \Rightarrow |a| = |b| = R \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = R}\\{a =  - b = R}\end{array}.} \right.\)

Nếu \(a = b\) thì phương trình đường tròn có dạng \({(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}\)

Mà điểm \(A(2; - 1) \in (I;R)\) nên \({(2 - a)^2} + {( - 1 - a)^2} = {a^2}\) \( \Rightarrow {a^2} - 2a + 5 = 0\) vô nghiệm.

Vậy trường hợp này không có giá trị thoả mãn.

Nếu \(a =  - b\) thì phương trình đường tròn có dạng \({(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}\)

Mà điểm \(A(2; - 1) \in (I;R)\) nên \({(2 - a)^2} + {( - 1 + a)^2} = {a^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{a = 5}\end{array}} \right.\)